空間迴歸的殘差分析

使用迴歸模型時， 為了檢驗模型的正確性，會做殘差分析，若模型的殘差圖相當亂，沒有特別的圖案，則認為此模型對依變數的解釋是合理的。同理，在作空間迴歸時，也可以看殘差 圖，如果殘差圖是隨機分佈的，那麼此空間迴歸模型就是好的模型，若殘差圖有空間上的聚集，那麼表示尚有未考慮到的變數未加入模型中。
以2004年民進黨相對國民黨得票率當依變數，選取8各社經變數EDU456、Income92、AGRI89、INDUS89、Serveice89、NoMove89、Work89及NoWork89作為自變數，作迴歸分析，R2僅達到0.2483，檢驗其殘差圖，並計算殘差的Moran’s I =0.5155，表示殘差項並非隨機分佈，且呈現正的聚集，高數值與低數值分別群聚(下圖，Bandwidth 0 km)，表示依變數有正的空間自相關，因此模式應修正為空間迴歸模型: Y=ρWY+Xβ+ε。
不過在使用空間迴歸模型時，必須考量空間權重矩陣(spatial weighting matrix)有不同的選擇型式，有離散型(Discrete)與連續型(Continuity)兩類，離散型還可分為鄰近矩陣(Contiguity Matrix)、距離矩陣(Distant Matrix)、次序矩陣(Order Matrix)等，鄰近矩陣可再細分為Rook Contiguity與Queen Contiguity，每一鄰近矩陣可再定義第幾個order的鄰近關係；距離矩陣可設Bandwidth=d，如果小於d則權重為1(wij=1 if dij，其餘為0(wij=0 otherwise)；次序矩陣則可定義N個最近的鄰近單元以內權重為1，其餘為0。連續型矩陣的變化又更多了， wij=exp(-0.5(dij/b)2) 或 wij=[1-(dij/b)2] if dij，隨著定義的方程式不同，權重就會有變化。
因此究竟要如何選擇適宜的空間權重矩陣，就成為一個問題。
若以距離矩陣為例，取Bandwidth 5km、10km、20km…100km與150km製作空間權重矩陣，分別跑空間迴歸，檢驗個別的殘差圖(上圖)，在Bandsidth=10km時，其殘差圖是最不規則的，因此若以10km為bandwidth跑出的迴歸模型會是最能解釋依變數的模型。

但肉眼的判斷過於主觀，若求不同bandwidth下之殘差值的Moran’s I(以Queen of first order為空間矩陣)，並作圖(上圖)，可以看到Bandwidth在10km~20km之間具有最小的Moran’s I，因此若選取此間距（10~20km）內的值為Bandwidth作空間迴歸，可以得到最佳（optimal）的模型。

r97228024 黃宜庭

參考書籍：Geographically Weighted Regression the analysis of spatially varying relationships

A. Stewart Fotheringham , Chris Brunsdon, Martin Charlton

John Wiley & Sons, LTD